3,1415926535… Les premières décimales de pi sont familières, mais leur suite soulève une question : pourquoi le nombre pi ne se termine-t-il jamais ?
Ce n’est pas parce que les ordinateurs manquent de puissance pour trouver sa dernière décimale. Cette dernière décimale n’existe pas. Pi est un nombre irrationnel : son écriture décimale se poursuit indéfiniment, sans devenir périodique.
Pour comprendre cette propriété, partons du cercle, puis regardons comment les fractions se traduisent en chiffres après la virgule.
📏 Qu’est-ce que le nombre pi ?
Le nombre pi, noté π, correspond au rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Autrement dit, si vous divisez la longueur du contour d’un cercle par sa largeur mesurée en passant par son centre, vous obtenez pi.
Que le cercle mesure quelques centimètres ou plusieurs kilomètres, ce rapport reste identique dans la géométrie habituelle du plan. C’est pourquoi pi est une constante mathématique.
Sa valeur commence par 3,141592653589793… On utilise souvent 3,14 pour simplifier les calculs, mais cette écriture est une approximation. Elle se rapproche de pi sans lui être égale.
Un cercle de diamètre 1 mètre possède donc une circonférence de π mètres. Cette longueur est parfaitement définie, même si son écriture décimale ne tient pas sur une feuille.
🧩 Pourquoi les décimales de pi sont-elles infinies ?
➗ Un nombre irrationnel ne s’écrit pas comme une fraction d’entiers
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Par exemple, 0,5 correspond à 1/2 et 0,75 à 3/4.
Pi est irrationnel : aucune fraction de deux nombres entiers ne donne exactement sa valeur. La fraction 22/7, parfois utilisée pour l’approcher, vaut environ 3,142857. Elle est proche de pi, mais différente.
Cela peut sembler contradictoire : pi est pourtant le rapport de deux longueurs. La distinction vient du mot « entiers ». Un rapport entre deux longueurs n’est pas nécessairement un rapport entre deux entiers.
🔍 Une écriture décimale finie donnerait forcément une fraction
Supposons que pi possède une dernière décimale. Il serait alors possible de supprimer sa virgule et de diviser le nombre obtenu par une puissance de 10.
C’est ce que l’on fait avec 3,14 :
3,14 = 314/100
La même méthode fonctionne pour tout nombre ayant une écriture décimale finie, même avec des millions de chiffres après la virgule.
Si pi se terminait, il serait donc rationnel. Or les mathématiciens ont démontré son irrationalité. Son écriture décimale ne peut donc pas s’arrêter. Cette explication expose la conséquence de l’irrationalité ; la démonstration de cette propriété demande des outils mathématiques plus avancés.
🔁 Une suite infinie peut-elle se répéter ?
Oui. Une infinité de décimales ne suffit pas à rendre un nombre irrationnel.
Prenons 1/3 = 0,333333… Le chiffre 3 se répète indéfiniment. De même, 1/7 = 0,142857142857… présente un groupe de six chiffres qui revient sans interruption. Ces écritures sont dites périodiques.
Lorsqu’on effectue une division entre deux entiers, les restes possibles sont en nombre limité. Soit on obtient un reste nul et la division s’arrête, soit un reste déjà rencontré réapparaît. Le même calcul recommence alors, ce qui entraîne la répétition des chiffres.
Réciproquement, une écriture décimale qui devient périodique peut toujours être convertie en fraction. Pi étant irrationnel, ses décimales ne peuvent donc jamais s’installer dans une répétition permanente.
Cela ne signifie pas qu’un chiffre ou un petit groupe ne revient jamais. Des répétitions locales existent. Ce qui est impossible, c’est un motif qui se répéterait sans fin à partir d’un certain rang.
♾️ Pi est-il un nombre infini ?
Pi possède une valeur finie, comprise entre 3 et 4. C’est le nombre de ses décimales qui est infini, pas sa grandeur.
Ajouter des décimales permet de préciser sa valeur : 3,1, puis 3,14, puis 3,141… Ces approximations se rapprochent de pi. Elles ne le font pas grandir indéfiniment.
La différence est comparable à celle entre une distance et la précision avec laquelle on la décrit. Une longueur peut être limitée tout en nécessitant une écriture décimale infinie pour être exprimée exactement.
Le symbole π permet justement de désigner cette valeur exacte sans devoir énumérer ses décimales.
💻 Comment connaît-on les décimales de pi ?
Les ordinateurs utilisent des formules et des algorithmes pour calculer des approximations de pi avec une précision choisie. Ils ne cherchent pas les chiffres au hasard : chaque décimale découle des propriétés du nombre.
Cependant, calculer davantage de chiffres ne prouve pas que la suite est infinie. Même après une quantité considérable de décimales, une observation resterait limitée. C’est la démonstration mathématique qui permet d’affirmer qu’il n’existe aucune dernière décimale.
Dans les applications courantes, on conserve seulement la précision nécessaire. Pour un cercle de diamètre 1 mètre, utiliser 3,14 au lieu de pi donne une erreur d’environ 1,6 millimètre sur sa circonférence. Selon l’usage, cet écart peut être acceptable ou demander une approximation plus précise.
✅ Conclusion : Une valeur exacte sans dernière décimale
Le nombre pi ne se termine jamais parce qu’il est irrationnel. Une écriture décimale finie, ou devenant périodique, permettrait de l’exprimer comme une fraction de deux entiers, ce qui est impossible.
Pi reste pourtant une valeur finie et exacte. Ses décimales nous permettent simplement de l’approcher avec la précision dont nous avons besoin.
